Criteriul Hurwitz. Criteriile de stabilitate ale lui Wald, Hurwitz, Savage

2024 Autor: Henry Conors | [email protected]. Modificat ultima dată: 2024-02-12 12:14

Articolul discută concepte precum criteriile lui Hurwitz, Savage și Wald. Accentul se pune în principal pe primul. Criteriul Hurwitz este descris în detaliu atât din punct de vedere algebric, cât și din punct de vedere al luării deciziilor în condiții de incertitudine.

Merită să începem cu o definiție a durabilității. Caracterizează capacitatea sistemului de a reveni la starea de echilibru după terminarea perturbației, care a încălcat echilibrul format anterior.

Este important de reținut că oponentul său - un sistem instabil - se îndepărtează constant de starea sa de echilibru (oscilează în jurul său) cu o amplitudine care revine.

Criterii de durabilitate: definiție, tipuri

Acesta este un set de reguli care vă permit să judecați semnele existente ale rădăcinilor ecuației caracteristice fără a căuta soluția acesteia. Iar acestea din urmă, la rândul lor, oferă o oportunitate de a judeca stabilitatea unui anumit sistem.

De regulă, acestea sunt:

algebric (întocmirea expresiilor algebrice conform unei anumite ecuații caracteristice folosind specialreguli care caracterizează stabilitatea ACS);
frecvență (obiect de studiu - caracteristici de frecvență).

Criteriul de stabilitate Hurwitz din punct de vedere algebric

Este un criteriu algebric, care presupune luarea în considerare a unei anumite ecuații caracteristice sub forma unei forme standard:

A(p)=aᵥpᵛ+aᵥ₋₁pᵛ¯¹+…+a₁p+a₀=0.

Folosind coeficienții săi, se formează matricea Hurwitz.

Regula pentru compilarea matricei Hurwitz

În direcția de sus în jos, toți coeficienții ecuației caracteristice corespunzătoare sunt scriși în ordine, începând de la aᵥ₋₁ la a0. În toate coloanele în jos de la diagonala principală indicați coeficienții puterilor crescătoare ale operatorului p, apoi în sus - descrescătoare. Elementele lipsă sunt înlocuite cu zerouri.

Se acceptă în general că sistemul este stabil atunci când toate diagonalele minore disponibile ale matricei considerate sunt pozitive. Dacă determinantul principal este egal cu zero, atunci putem vorbi despre situația sa la limita de stabilitate și aᵥ=0. Dacă sunt îndeplinite celel alte condiții, sistemul luat în considerare este situat la limita unei noi stabilități aperiodice (penultimul minor este echivalat cu zero). Cu o valoare pozitivă a minorilor rămași - la limita stabilității deja oscilatorii.

Luarea deciziilor într-o situație de incertitudine: criteriile lui Wald, Hurwitz, Savage

Sunt criteriile pentru alegerea celei mai potrivite variante a strategiei. Criteriul Savage (Hurwitz, Wald) este utilizat în situațiile în care există probabilități a priori incerte ale stărilor naturii. Baza lor este analiza matricei de risc sau a matricei de plată. Dacă distribuția probabilității stărilor viitoare este necunoscută, toate informațiile disponibile sunt reduse la o listă de opțiuni posibile.

Deci, merită să începem cu criteriul maximin al lui Wald. Acţionează ca un criteriu pentru pesimismul extrem (observator prudent). Acest criteriu poate fi format atât pentru strategiile pure, cât și pentru cele mixte.

Și-a primit numele pe baza presupunerii statisticianului că natura poate realiza stări în care valoarea câștigului este echivalată cu cea mai mică valoare.

Acest criteriu este identic cu cel pesimist, care este folosit în cursul rezolvării jocurilor matrice, cel mai adesea în strategii pure. Deci, mai întâi trebuie să selectați valoarea minimă a elementului din fiecare rând. Apoi se selectează strategia decidentului, care corespunde elementului maxim dintre cele minime deja selectate.

Opțiunile selectate de criteriul luat în considerare sunt fără riscuri, deoarece decidentul nu se confruntă cu un rezultat mai rău decât cel care acționează ca un ghid.

Așadar, conform criteriului Wald, strategia pură este recunoscută ca fiind cea mai acceptabilă, deoarece garantează câștigul maxim maxim în cele mai proaste condiții.

În continuare, luați în considerare criteriul lui Savage. Aici, atunci când alegeți una dintre soluțiile disponibile, în practică, de regulă, acestea se opresc la cea care va duce la consecințe minime în cazul în caredacă alegerea se dovedește totuși greșită.

Conform acestui principiu, orice decizie se caracterizează printr-o anumită cantitate de pierderi suplimentare apărute în cursul implementării ei, în comparație cu cea corectă în starea de natură existentă. În mod evident, soluția corectă nu poate suporta pierderi suplimentare, motiv pentru care valoarea lor este egală cu zero. Astfel, cea mai convenabilă strategie este cea în care valoarea pierderilor este minimă în cele mai nefavorabile circumstanțe.

Criteriul pesimismului-optimism

Acesta este un alt nume pentru criteriul Hurwitz. În procesul de alegere a unei soluții, în cursul evaluării situației actuale, în loc de două extreme, aceștia aderă la așa-numita poziție intermediară, care ia în considerare probabilitatea atât a unui comportament favorabil, cât și a celui mai rău comportament al naturii.

Acest compromis a fost propus de Hurwitz. Potrivit lui, pentru orice soluție, trebuie să setați o combinație liniară de min și max, apoi alegeți o strategie care să corespundă cu cea mai mare valoare a acestora.

Când este justificat criteriul în cauză?

Este recomandabil să folosiți criteriul Hurwitz într-o situație caracterizată de următoarele caracteristici:

Este necesar să se țină cont de cel mai rău caz.
Lipsa de cunoștințe privind probabilitățile stărilor naturii.
Să ne asumăm puțin risc.
Se implementează un număr destul de mic de soluții.

Concluzie

În cele din urmă, ar fi util să ne amintim că articolulCriteriile Hurwitz, Savage și Wald. Criteriul Hurwitz este descris în detaliu din diferite puncte de vedere.